Bien qu’ils ne soient en rien nécessaires à ce qui suit, les systèmes de numération de position nous font toucher du doigt une notion qui a fait couler beaucoup d’encre : celle de l’infini.
Nous sommes au cours préparatoire ; le jeu consiste à écrire le plus grand nombre qui existe dans le monde. Fabien, six ans, lève la main et montre ce qu’il a écrit : 21 650.
« Tu crois que c’est le plus grand nombre du monde ? demande la maîtresse.
- Oui
- Et que dirais-tu de 21 651 ?
- J’étais pas tombé loin ! »
Ce qui manque justement à Fabien, qui l’en blâmerait, c’est cette idée du « jamais fini » ; si grand que soit un nombre, on peut toujours en décrire un plus grand, en lui ajoutant 1.
Dès l’époque d’Archimède, les savants avaient clairement perçu deux faits importants. Le premier est que la suite des nombres entiers peut être allongée sans limite, par la répétition d’un processus, qui permet de donner un successeur à tout nombre, ce que nous faisons en lui ajoutant 1. Le second est qu’il est possible d’opérer, non seulement sur des nombres quelconques préalablement écrits, mais sur des nombres non connus de celui qui fait le raisonnement, ce qui ne l’empêche pas d’énoncer des résultats. Cette idée nous est aujourd’hui familière, qui consiste à remplacer des nombres par des lettres. Ainsi, une écriture telle que :
a + b = b + a
qui exprime que la somme de deux nombres ne dépend pas de l’ordre dans lequel on les écrit n’a évidemment pas à être vérifiée cas par cas : un raisonnement permet de l’établir comme un résultat général.
Les paradoxes de l’infini
Pendant des siècles, on s’est contenté des constats précédents et ce n’est que dans la seconde moitié du XIX e siècle qu’on s’est avisé de certaines difficultés logiques. La première survient lorsqu’on veut étendre le travail du berger et de ses petits cailloux. En associant son double à tout entier :
On met ainsi « en évidence » ce paradoxe singulier : il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers. Cela choque le sens commun : que fait-on des nombres impairs ?
L’hôtel de Hilbert
Cet hôtel comporte une suite infinie de chambres, numérotées à l’aide des entiers. Supposons-le complet : il y a un voyageur dans chaque chambre. Et voilà qu’on sonne à la porte : un voyageur en quête de gîte. Que peut faire le réceptionniste ? La réponse est simple : il demande à tout voyageur déjà installé de changer de chambre et de s’installer dans la suivante ; celui qui a la chambre 6 ira en 7, comme celui qui a la chambre 1 000 ira en 1 001. Ses anciens clients sont tous relogés et la chambre 1 est disponible pour le nouvel arrivant.
S’il s’agit d’un car entier de quarante voyageurs, ce n’est pas plus difficile : on enverra chaque occupant quarante chambres plus loin ; celui qui a la chambre 6 ira en 46, comme celui qui a la chambre 1 000 ira en 1 040. Ses anciens clients sont tous relogés et les chambres 1 à 40 sont disponibles pour les nouveaux arrivants.
Encore plus fort : il se présente une suite infinie de clients. Le réceptionniste n’a qu’à demander à tout voyageur déjà installé de changer de chambre et de s’installer dans la chambre du numéro double ; celui qui a la chambre 6 ira en 12, comme celui qui a la chambre 1 000 ira en 2 000. Ses anciens clients sont tous relogés et les chambres de numéros impairs sont disponibles pour les nouveaux arrivants. À l’arrivant numéro p, il attribuera la chambre de numéro impair 2p + 1.
Jusqu’où peut-on compter alors ? Eh bien ! À l’infini…
Source : Boursin, J.-L. (2017). Les maths pour les nuls. First Editions.
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